La Dinamica della Divisione dei Resti |
La maggior parte dei bridgisti, è privo di un solido retroterra statistico al quale attingere per capire bene la dinamica con cui variano le probabilità che misurano il verificarsi degli eventi durante lo sviluppo del gioco.
In questo articolo cercherò di spiegare nella maniera più semplice possibile come variano le probabilità di divisione dei resti di un colore, man mano che il gioco procede.
A titolo di esempio, prendiamo in esame un colore così distribuito tra mano e morto:
AR87 ¾¾¾¾¾ T96 |
Le probabilità unitarie relative alla divisione dei suoi resti, sono indicate nella colonna Pu della seguente tabella:
Resti | Pu | Casi | Resti | U | % | |
DFxxxx | - | 0,0075 | 1 | 6-0 | 1 | 1,5 |
- | DFxxxx | 0,0075 | 1 | |||
F | Dxxxx | 0,012 | 1 | 5-1 | 14,54 | |
Dxxxx | F | 0,012 | 1 | |||
DFxxx | x | 0,048 | 4 | |||
x | DFxxx | 0,048 | 4 | |||
D | Fxxxx | 0,012 | 1 | |||
Fxxxx | D | 0,012 | 1 | |||
Fxxx | Dx | 0,064 | 4 | 4-2 | 48,44 | |
Dx | Fxxx | 0,064 | 4 | |||
Fx | Dxxx | 0,064 | 4 | |||
Dxxx | Fx | 0,064 | 4 | |||
DFxx | xx | 0,097 | 6 | |||
xx | DFxx | 0,097 | 6 | |||
DF | xxxx | 0,016 | 1 | |||
xxxx | DF | 0.016 | 1 | |||
Fxx | Dxx | 0,107 | 6 | 3-3 | 35,54 | |
Dxx | Fxx | 0,107 | 6 | |||
DFx | xxx | 0,071 | 4 | |||
xxx | DFx | 0,071 | 4 | |||
Totali | 1,00 | 100,0 |
L'ultima colonna a destra della tabella (%) contiene le probabilità a priori espresse in percentuale che ha ogni singolo evento di verificarsi in rapporto all'universo (U) di tutti quelli possibili.
Prima della licita, tutti gli accadimenti esposti in tabella possono verificarsi con la probabilità unitaria indicata nella colonna Pu, e quindi, l'universo che è uguale alla loro somma è anche pari all'unità; la colonna (%) contiene il risultato della somma delle singole Pu di riga relative ad una particolare divisione dei resti, espressa in percentuale rispetto all'universo:
∑ Pu x 100 ¾¾¾¾¾ U |
Per esempio per la divisione dei resti 6-0 abbiamo:
(0,075 + 0,075) x 100 R(6-0) ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = 1,5% 1 |
Se prima di iniziare a muovere le carte vogliamo determinare la probabilità a priori di realizzare 4 prese con una manovra di doppio sorpasso al piccolo mariage, dovremo sommare tra loro tutte le probabilità relative ai casi nei quali Dama e Fante si trovano in Ovest (figure in rosso): 24%.
Con lo stesso procedimento potremmo trovare le probabilità a priori di fare 2 sole prese (figure in blu): 24%.
Infine, nei rimanenti casi, pari al 52% (figure in marrone), ne realizzeremo 3.
Riepilogando avremo:
Doppio Sorpasso | |
Prese | prob. a priori |
4 | 24% |
3 | 52% |
2 | 24% |
Tuttavia, grazie alla presenza di tutte le carte alte, esiste una manovra migliore del doppio sorpasso, che consiste nel battere uno degli onori di testa dopo aver fallito il primo sorpasso e prima di tentare il secondo. Questo procedimento permette di vincere anche nell'unico caso nel quale troveremo Dama e Fante secchi a destra.
Le probabilità a priori relative a questa nuova manovra che chiameremo "Top Move" sono:
Top Move | |
Prese | prob. a priori |
4 | 24% |
3 | 53,6% |
2 | 22,4% |
Ora, per esemplificare la dinamica con cui variano le probabilità a priori, supponiamo per un momento di iniziare a manovrare la figura in esame battendo l'Asso da Nord e di appurare che Est non risponde nel colore.
A questo punto le probabilità Pu che avevano i singoli eventi di verificarsi prima della battuta dell'Asso, non sono evidentemente cambiate perché, paradossi relativistici a parte, gli avvenimenti presenti non possono in alcun modo modificare quelli passati.
Quello che è cambiato radicalmente dopo la battuta dell'Asso, è l'universo dei casi possibili, perché, tra tutte le eventualità che erano possibili a priori, a posteriori la realtà degli accadimenti ne lascia in vita una soltanto:
Resti | Pu | Casi | Resti | U | % | |
QJxxxx |
- |
0,0075 | 1 | 6-0 | 0,0075 | 100 |
Totali | 0,0075 | 100 |
In altri termini, il fatto che nella realtà si sia verificato un evento che aveva bassissima probabilità a priori di verificarsi, ha cambiato in maniera drastico lo scenario dell'azione.
Infatti, dopo la battuta dell'Asso ed il rilevamento del void in Est, l'unica suddivisione che rimane possibile per la realtà attuale è "DFxxxx" in Ovest e "void" in Est, che, pertanto, è ora certa al 100%.
In altri termini, la probabilità a priori di trovare un void in Est è dello 0,75% ma, la probabilità a posteriori dello stesso evento dopo la battuta dell'Asso e lo scarto di Ovest, è del 100%.
Per tanto, dopo la battuta dell'Asso, veniamo a sapere che faremo 3 prese con certezza assoluta (100%) e che ne avremmo fatte 4, se avessimo eseguito il doppio sorpasso con la Top Move.
Ad ogni singolo evento del gioco le probabilità a priori cambiano in probabilità a posteriori che, poi, non sono altro che le probabilità a priori valide per il prossimo evento.
Archiviato questo primo esempio, che ha avuto il solo scopo di tentare di illustrare in maniera evidente la mutabilità dello scenario dell'azione ed il conseguente procedimento da seguire per una corretta misurazione a fronte degli eventi che si succedono, definiamo come carte sensibili quelle suscettibili di vincere la presa e vediamo cosa accade quando sul Dieci giocato da Sud, Ovest risponde con una cartina, ed Est vince la presa con uno dei due onori mancanti (p.e. con la Dama):
AK87 x ¾¾¾¾¾ Q T96 |
A questo punto bisogna ricreare il nuovo scenario che prevede che le carte rimaste in gioco sono 24 e non più 26 (2 sono, infatti, già uscite), che, per lo stesso motivo, i resti del seme in questione non sono più di 6 carte ma bensì di 4 (di cui una soltanto è sensibile, che, nell'ipotesi fatta è il Fante) e che il numero dei posti liberi (o, se lo preferite, il numero delle carte che sono rimaste in mano) per ognuno dei due opponenti non è più 13, come era all'inizio della smazzata, ma soltanto 12.
Occorre quindi procedere con questi nuovi parametri al calcolo che ci fornirà le probabilità a posteriori (a questo primo giro di gioco) relative alla Divisione dei Resti tra i 2 Opponenti (che poi saranno quelle valide a priori nel prossimo giro di gioco).
RCx · (L-R)C(M-x) p = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ LCM |
R = numero delle carte residue del colore in esame presenti nelle mani dei due opponenti
x = lunghezza del frammento dei resti del colore ricercato in una delle due mani degli opponenti
L = numero delle carte in gioco residue presenti nelle mani dei due opponenti
M = numero delle carte in gioco residue presenti nella mano di uno dei opponenti
Una volta valorizzate le variabili dell'algoritmo in funzione della nuova realtà, avremo:
R | x | L | M | C | Resti |
4 | 4 | 24 | 12 | 4,66% | 4-0 |
4 | 3 | 24 | 12 | 24,84% | 3-1 |
4 | 2 | 24 | 12 | 40,99% | 2-2 |
4 | 1 | 24 | 12 | 24,84% | 1-3 |
4 | 0 | 24 | 12 | 4,66% | 0-4 |
Totale |
100,00% |
Con questi nuovi dati possiamo ricreare la tabella valida per le probabilità a priori degli eventi futuri al primo giro di gioco:
Resti | Pu% | Casi | Resti | U | % | |
Fxxx | - | 4,66 | 1 | 4-0 | 1 | 9.32 |
- | Fxxx | 4,66 | 1 | |||
Fx | xx | 20,5 | 2 | 2-2 | 40,99 | |
xx | Fx | 20,5 | 2 | |||
F | xxx | 6,21 | 1 | 3-1 | 49,68 | |
xxx | F | 6,21 | 1 | |||
Fxx | x | 12,42 | 2 | |||
x | Fxx | 12,42 | 2 | |||
Totali | 100 | 100,0 |
Se vogliamo verificare quale sono le probabilità a priori di realizzare un determinato numero prese in questo preciso momento avremo, per la manovra del doppio sorpasso (che risulterà vincente nei casi in rosso):
Doppio Sorpasso | |
Prese | prob. a priori |
4 | 0% |
3 | 50% |
2 | 50% |
Mentre, per la Top Move, essendo vincente anche il caso in blu, avremo:
Top Move | |
Prese | prob. a priori |
4 | 0% |
3 | 56,2% |
2 | 43,8% |
In altri termini: dopo il primo giro di gioco, la probabilità a priori di fare 4 prese è svanita del tutto, mentre, quella di farne 2 soltanto è parecchio aumentata.
Le probabilità iniziali, che erano più favorevoli, sono state erose dal verificarsi degli eventi e si sono trasformate in quelle attuali che saranno le nuove probabilità a priori su cui basare le manovre successive.
Un modo per capire ancora meglio come è variata la situazione la potete ottenere calcolando le prese medie ponderate nei due momenti di gioco.
Le prese medie ponderate sono quelle che potete di aspettarvi di fare in un determinato momento del gioco e sono date dal prodotto tra le prese conseguibili e la probabilità unitaria di realizzarle.
All'inizio della smazzata, si avrà:
Top Move | ||
Prese possibili | Probabilità unitaria | Prese medie ponderate |
4 | 0,24 | 0,96 |
3 | 0,536 | 1,608 |
2 | 0,224 | 0,448 |
Totali |
1 | 3,016 |
Dopo il primo giro di gioco, si avrà:
Top Move | ||
Prese possibili | Probabilità unitaria | Prese medie ponderate |
4 | 0 | 0 |
3 | 0,562 | 1,686 |
2 | 0,438 | 0,876 |
Totali |
1 | 2,562 |