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Linea e Punti Onori

Dopo aver esaminato in un altro articolo la suddivisione delle mani in funzione dei punti onori posseduti, qui applicheremo lo stesso metodo per trovare quante sono le linee che possono racchiudere un determinato numero di punti onori.

Con la dizione bridgistica "linea" si intende sia il complesso delle 26 carte che compongono le due mani a disposizione del dichiarante, sia quello complementare al resto del mazzo che comprende le 26 carte a disposizione dei due difensori.

Nell'articolo dedicato alle leggi del fit abbiamo visto come calcolare l'imponente numero di tutte le possibili linee configurabili con 26 carte:

 LT =   52C13 x 39C13≅ 5,158 x 1021

Si considerino dapprima le linee prive di PO; la loro numerosità è deducibile dal calcolo di tutte le possibili mani prive di carte figurate.

Le carte figurate sono 16 (4Assi + 4Re + 4Dame + 4Fanti) e di conseguenza le altre carte, quelle che chiameremo carte non figurate o anche carte svestite, sono pari a 52-16 = 36.

Facendo ricorso alla formula del calcolo combinatorio, possiamo facilmente determinare il numero delle linee prive di carte figurate che naturalmente equivale a quello per noi più interessante del numero delle linee prive di punti onori:

                                 

  L0 = 36C26 x 26C13 ≅  2,6 x  1015

Dove il secondo fattore del prodotto indica le combinazioni possibili con le 26 carte considerate di volta in volta selezionate utili a formare due sottoinsiemi di 13 carte ciascuno.

Dividendo il totale delle linee prive di carte figurate per il numero di tutte le mani possibili si ottiene poi la frequenza di ricorrenza di una linea con zero PO:

L0 / LT @ 51 × 10- 6

Dato che ognuna delle due linee di una smazzata è complementare dell'altra, questo numero appena coincide con quello relativo alle linee con 40PO.

Come c'era da aspettarsi la ricorrenza delle linee con 0 e con 40 punti onori è estremamente bassa (solo 51 ogni milione!) ed è anche molto inferiore a quella delle mani prive di punti onori.

Con metodo analogo possiamo calcolare il numero delle linee con un solo PO (cioè delle linee composte da un Fante e da 25 carte svestite):

L1 = 4C1 x 36C25  x 26C13  ≅ 25 x 1015

con il fattore 4C1 che è relativo al numero dei Fanti esistenti nel mazzo e il fattore 36C25 che è relativo al numero delle possibili classi composte da 25 carte svestite.

La ricorrenza di una linea con un solo PO, cioè di una Linea composta da un Fante e da 25 carte svestite sarà data allora da:

L1 /  LT  = 0,000485

Dato che una delle due linee di una smazzata è complementare dell'altra, questi numeri appena trovati devono coincidere con quelli relativi alle linee a loro complementari, cioè alle linee con 40 e con 39PO.

Se a titolo di ulteriore esempio si vuole estendere il calcolo alla ricorrenza delle linee con 4PO, si incontra la complicazione di dover come prima cosa considerare tutti i possibili modi con i quali gli stessi si possono formare in una linea di bridge.

Nelle righe della tabella che segue sono mostrate le 5 possibili combinazioni con le quali si possono formare i considerati 4PO; nelle colonne sono invece mostrati il numero dei singoli onori figurati che conformano la mano, le possibili combinazioni delle carte onori presenti nella mano (O) e il numero delle carte svestite presenti nella mano (N).

Linee con 4 PO

Riga

A

R

D

F

O

N

T

1

1

-

-

-

4

25

 24.994.942.246.310.400

2

-

1

-

1

16

24

 208.291.185.385.920.000

3

-

-

2

-

6

24

 78.109.194.519.720.000

4

-

-

1

2

24

23

 576.806.359.530.240.000

5

-

-

-

4

1

22

 39.483.768.658.320.000

Totale   

927.685.450.340.511.000

Che sarà anche il numero delle linee complementari con 36 PO (40-4).

Più in dettaglio, nella colonna "O" è possibile ritrovare il numero delle possibili combinazioni formate dalle carte onori capaci di produrre un totale di 4PO, nella colonna "N" quello delle possibili combinazioni di Carte Svestite che li accompagnano nella mano presa in esame.

Alla riga 1 sono evidenziate le 4 combinazioni ottenibili con ciascuno dei 4Assi (4C1), alla riga 2 sono evidenziate le 6 combinazioni di Onori (4C1 x 4C1) ottenibili combinando ciascuno dei 4 Re con ciascuno dei 4 Fanti, e così via.

Generalizzando nella tabella si avrà:

 O = 4CA × 4CR × 4CD × 4CF 

N = 13 - (A+R+D+F)

T = O × 36CN × 26C13

dove gli indici A, R, D, F usati nel calcolo di O, indicano il numero dei rispettivi onori involuti.

E dividendo il totale LT delle linee della tabella per il numero delle mani possibili, si otterrà la frequenza ricercata.

Nel caso della tabella dei 4PO, avremo:

  4PO = T / LT @ 0,017986 % 

Procedendo in maniera analoga è possibile calcolare la ricorrenza di tutte le possibili linee, da quelle con zero PO a quelle con 40PO. 

La tabella che segue, simmetrica rispetto alla riga dei 20 PO, ne mostra i valori percentualizzati:

PO %
0  0,000051 
1 0,000485
2 0,001999
3 0,006387
4 0,017986
5 0,042691
6 0,092719
7 0,185648
8 0,341138
9 0,587706
10 0,954673
11 1,463463
12 2,123945
13 2,943374
14 3,883388
15 4,891876
16 5,907284
17 6,831091
18 7,566231
19 8,046782
20 8,222167
21 8,046782
22 7,566231
23 6,831091
24 5,907284
25 4,891876
26 3,883388
27 2,943374
28 2,123945
29 1,463463
30 0,954673
31 0,587706
32 0,341138
33 0,185648
34 0,092719
35 0,042691
36 0,017986
37 0,006387
38 0,001999
39 0,000485
40 0,000051

 Totale  

100.0

Nella tabella che segue sono calcolate tutte le possibili combinazioni di onori figurati che possono essere presenti in una singola mano di bridge.

Combinazioni degli Onori
Riga O1 O2 O3 O4 N
1 1 o 4 -  - - 1
2 1 o 3 - - - 4
3 2 - - - 6
4 1 o 3 1 o 3 - - 16
5 1 o 3 2 - - 24
6 2 2 - - 36
7 1 o 3 1 o 3 1 o 3 - 64
8 1 o 3 1 o 3 2 - 96
9 1 o 3 2 2 - 144
10 2 2 2 - 216
11 1 o 3 1 o 3 1 o 3 1 o 3 256
12 1 o 3 1 o 3 1 o 3 2 384
13 1 o 3 1 o 3 2 2 576
14 1 o 3 2 2 2 864
15 2 2 2 2 1.296

In essa possiamo vedere che le combinazioni che si possono formare con 4 onori dello stesso tipo (o con un solo onore) sono ovviamente una soltanto (riga 1). 

Quelle possibili con uno o 3 onori dello stesso tipo (per esempio tre Re) e 2 di un altro (per esempio 2 Fanti) sono invece 24 (riga 5).

Indice Statistica

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